Ausstellung ?Mathe? — Einfach sch?n!” Raster-Grafik: Rationale Funktion
Das obere Bild zeigt keinen Kroko?dil-Rücken, sondern den Ima?gi?n?r?teil der kom?ple?xen ratio?nalen Funk?tion
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\frac{p}{q}
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, deren Z?hler- und Nenner-Poly?nome die neben?ste?hen?den Null?stel?len haben. Da der Ima?gi?n?r?teil einer kom?plex-ratio?na?len Funk?tion unbe?schr?nkt ist, die zuge?h??rige Farb-Funk?tion aber das Inter?vall?
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[0,1]
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abbil?det, wird er u.a. mit Loga?rith?mus und Co?si?nus behan?delt; die Farbe sagt also nichts über den Wert des Ima?gi?n?r?teils aus.
Die Pole dieser Funk?tion (die Null?stel?len des Nen?ners
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q
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) sind als Punkte ober- und unter?halb der zen?tra?len hori?zon?talen Linie zu erken?nen. Die Null?stel?len des Z?hlers?
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p
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hin?ge?gen liegen auf die?ser Linie und auf den ge?schwun?ge?nen Kurven darü?ber und darun?ter, sind aber nicht beson?ders gekenn?zeich?net.
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Mathematik: Komplexe Zahlen.
Das untere Bild zeigt eine andere komplex-rationale Funktion mit fünf Nullstellen auf einem inneren Kreis ( $ q $ ) und sechs Polen im Zentrum und auf einem ?u?eren Kreis ( $ p $ ). Die Farbe jedes Bild?punktes repr??sen?tiert mittels des Farben?kreises (siehe oben) das Argu?ment des Funk?tions?wertes, w?hrend seine Hellig?keit aus dem Pro?dukt von Argu?ments- und Betrags-Trans?for?ma?tionen berech?net wird. Auf diese Weise ent?stehen ein?far?bige Li?nien, die aus den Null?stellen und Polen der Funk?tion heraus?führen; alle Punkte auf einer sol?chen Linie werden von der ratio?nalen Funk?tion auf den?je?ni?gen Strahl von kom?ple?xen Zahlen abge?bildet, der im Farben?kreis die glei?che Farbe wie die Linie auf?weist. Folgt man hin?ge?gen einer Linie mit variie?ren?den Farben, die um eine oder meh?rere Null?stellen oder Pole herum?führt, so haben diese Punkte im Bild der ratio?na?len Funk?tion alle den glei?chen Betrag; sie lie?gen auf einem gemein?sa?men Ring des Farben?krei?ses. Diese Dar?stel?lung der Funk?tion lie?fert zwar keine exak?ten Werte, aber immer?hin eine Vor?stel?lung vom quali?ta?tiven Ver?hal?ten der Funk?tion.
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Mathematik: Komplexe Zahlen.