Ausstellung ?Mathe? — Einfach sch?n!” Rationale Funktion Komponenten-Darstellung
Dokumentation
Die obigen Bilder verwenden überwiegend die Funktionen $$ p(z) = \prod_{i=0..5}(z-z_i) \text{ und } q(z) = \prod_{i=6..10}(z-z_i) $$
Dabei ist der Parameter? $ z $ eine komplexe Zahl, die aus den kartesischen Koordinaten eines Bildpunktes gebildet wird. Die Nullstelle $ z_0 $ des Polynoms? $ p $ liegt im Ursprung; die anderen fünf mit den Indizes 1 bis 5 liegen gleichm??ig auf einem Kreis darum herum. Die Nullstellen $ z_6 $ bis $ z_{10} $ des Polynoms? $ q $ liegen gleichm??ig auf einem Kreis mit halbem Radius des $ p $ -Kreises und gegen diesen um 36° gedreht.
Jeder Punkt eines Bildes wird als komplexe Zahl $ z $ aufgefasst und mit einer rationalen Funktion $ p $ , $ \frac{p}{q} $ oder $ \frac{q}{p} $ abgebildet auf den Wert $ f_Z $ ; dies ist ebenfalls eine komplexe Zahl. Deren Real- oder Imagin?rteil, Betrag oder Argument wird unter Verwendung von Logarithmus und Cosinus auf das Intervall $ [0,1] $ transformiert, welches abschlie?end auf ein Farbenspektrum abgebildet wird. Der Punkt im Bild wird dann in der Farbe gezeichnet, die der Transformation der gew?hlten Komponente von $ f_Z $ entspricht.
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Die Bilder ganz links zeigen den Realteil (oben) und den Imagin?rteil (unten) von $ \frac{q}{p} $ . In der zweiten Spalte sind Real- bzw. Imagin?rteil von $ \frac{p}{q} $ dargestellt, in der dritten Spalte oben der Betrag dieser rationalen Funktion. Darunter mit dem Titel Excalibur findet sich der Imagin?rteil von $ p $ , und rechts oben das Argument eines Polynoms mit acht symmetrisch konzentrisch verteilten Nullstellen und insgesamt neun Polen: einer davon im Ursprung, die anderen -analog zum obigen Bild- gleichm??ig auf einem ?u?eren Kreis verteilt.
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Das Bild unten rechts ist als erstes dieser Gruppe entstanden. Es verdankt seine Existenz einem Programmierfehler: die komplexe Multiplikation war falsch implementiert. Mathematisch eher wertfrei strahlt es doch eine ?sthetische Anziehungskraft aus (nur echte Seide gl?nzt sch?ner!), und so hat es seinen Ehrenplatz in dieser Ausstellung. Es sollte einmal den Betrag von $ \frac{q}{p} $ darstellen. Da der Betrag eines Polynoms (auch der einer rationalen Funktion) eine sehr 'glatte' Funktion ist, das Bild hingegen eher turbulent aussieht, wurde die Existenz des Fehlers schnell entdeckt; das Finden dauerte etwas l?nger, und das Reparieren ging wieder schnell.